循環小数の定義と分数への変換

循環小数とは

循環小数とは例えば0.33333…や0.123123123…など同じ数字のパターンが無限に繰り返される小数のことを言います。循環小数は必ず分数で表すことができます。繰り返される数字のパターンを循環節と呼びます。

循環小数を表すとき0.33333333333…と無限に書くわけににはいかないので表し方があります。繰返される数字の初めと終わりの数字の上に点をつけて表します。

循環小数 \(2.333333…\)は\(2.\dot{3}\)と表す。循環節は3

循環小数\(1.148148148…\)は\(1.\dot{1}4\dot{8}\)と表す。循環節は148

循環小数は必ず分数で表せると言いましたが、どうやって分数に変換するのでしょうか。

その手順は次のようにします。

この手順でやることで小数の無限に続く部分を消去して考えることがができます。

\(1.\dot{1}2\dot{3}\)を分数で表せ。

\(x=1.\dot{1}2\dot{3}\)とする。

循環節は３桁なので\(10^3\)倍、つまり1000倍すると、

\(1000x=1123.\dot{1}2\dot{3}\)

辺々を引くと

\(999x=1122\)

\(x=\frac{1122}{999}=\frac{374}{333}\)

循環小数\(1.\dot{1}2\dot{3}\)は\(\frac{374}{333}\)と表せる。